Para determinar si existe un máximo o un mínimo de derivada basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.
Un punto más que hay que considerar es tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signo para la derivada por ejemplo para el caso de de la función:
La función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x=0, pese a eso si existe un mínimo local.
Valores máximos y mínimos de una funciones
Aplicado a una derivada de una función, determinamos los intervalos en que la es creciente o decreciente a viceversa.
Si f es una función cuyo valor es c, se tiene que:
A) F( C) se llama valor máximo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a c tal que f(x)
Ejemplo: sea f la función definida por f(x)=x2-4+5
Entonces f(x)=2x-4. Como f (2)=0, f puede tener un extremo relativo en 2. Puesto que f (2)=1 y 1<>2, concluimos que f tiene un valor mínimo relativo en 2.
En la grafica se puede observar que la función tiene un valor máximo MA (=y=2) cuando x=1 y un valor mínimo NB (=y=1) cuando x =2
Máximos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativo, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'( xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (Se anula y cambia de signo). Máx. En (a, f) (a)
Mínimos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín. en (b, f (b). Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).
EJEMPLO: Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.
De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.
Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:
la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.
Ejercicios de aplicación a la medicina
La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función v(t)=40 +15t-9t2+13,donde t es el tiempo (en horas ) transcurrido desde que comienza en estudio (t=0)indicar los instantes de máximo y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.
Solución del ejercicio:
Para que la función tenga un máximo o mínimo la derivada debe ser cero.
V(t)=15-18t+3t12 igualando a 0,3t2-18t+15=0
Simplificando t2-6t+5=0 cuyas soluciones son 5 y 1.
Ahora se va a ver quien es el máximo y quien es el mínimo de la función, en el intervalo [0 ,6] que tiene que estar entre dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de weirtrars).
Se ordena la función v por comodidad, v (t)= t3-9t2+15t+40
V (0)=40
V(5)=125-225+75+40=15
V(1)=1-9+15+40=47
V(6)=216-324+90+40=22
Se puede determinar que la máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.
Para observar los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada:
V”(t)=3t2-18t+15
O 1 5 6
V”+0 - 0 +
Después v crece desde 0 a 1 desde5a 6, (crece en (0,1) unión (5,6) y decrece en el intervalo (1,5)
Observando la grafica de la función se puede ver lo que se ha deducido.
Criterios de la primera derivada
La base de l criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:
1) Cuando la derivada es positiva la función crece.
2) cuando la derivada es negativa la función decrece.
3) cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
Sea f(x) una función y c un numero en su dominio .supongamos que existe a y b con a
Entonces f tiene un máximo local en c
Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo “por “negativo”
Ejercicios de derivadas
1- ) y = 5x -2
y’ =
y’= (5) (-2) x -2-1
y’= -10x -3
2- ) y =
y’ =
y’=
y’=
y’=
y’=
y’=
3- ) y = 3x -4 + 3x 4
y’=
y’= (3) (-4)x -4-1 + (3)(4) 4-1
y’= -12x -5 + 12x 3
Trabajo de matemática
Walter Rafael ospino Benedetti
Luis Abel de los santos Vásquez
Profesor :Fernando romero
Universidad simón bolívar
Facultad de Medicina 1-A
Barranquilla-Colombia
2007
Introducción
En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la anti derivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cuál separa las matemáticas previas, como álgebra, trigonometría o geometría analítica, del cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del cálculo infinitesimal.
La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio equivale a decir que tan rápido crece (o decrece) una función en un punto(razón de cambio) a lo largo del eje x en un plano cartesiano de dos dimensiones, es decir, la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. La curva de la función está dibujada en negro. La tangente a la curva está dibujada en rojo. La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la tangente
La derivada es un concepto de muchas aplicaciones que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso, es decir, que tiene forma de pico. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, es decir, sin picos, por lo que es susceptible de derivación.
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